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你完全可以理解量子信息(8-10)| 袁嵐峰

發(fā)布時間:2023-03-02 11:18:28  信息來源:  閱讀次數(shù): 3265 次

導(dǎo)讀:

以后如果你看到量子計算機(jī)的新聞,,千萬不要問“計算能力跟我的電腦比起來怎么樣”或者“打游戲會卡嗎”,人家一聽就知道你很外行。如果你問“它針對的是哪個數(shù)學(xué)問題,,把計算量從什么改進(jìn)到了什么”,,人家就知道你是懂行的了?!话闳宋也桓嬖V他,!


前文參見: 

你完全可以理解量子信息(1) | 袁嵐峰

你完全可以理解量子信息(2-3) | 袁嵐峰

你完全可以理解量子信息(4-5) | 袁嵐峰)

你完全可以理解量子信息(6) | 袁嵐峰)

你完全可以理解量子信息(7) | 袁嵐峰


八、量子信息的優(yōu)勢

從以上內(nèi)容可以看出,,量子信息跟經(jīng)典信息相比有很大的優(yōu)勢,。

首先是一個顯而易見的優(yōu)勢。前面比喻過:經(jīng)典比特是“開關(guān)”,,只有開和關(guān)兩個狀態(tài),,而量子比特是“旋鈕”,有無窮多個狀態(tài),。旋鈕的信息量顯然比開關(guān)大得多,。

還有一個稍微復(fù)雜一點(diǎn)的優(yōu)勢。一個包含n個經(jīng)典比特的體系,,總共有2^n個狀態(tài),。想知道一個函數(shù)在這個n比特體系上的效果,需要對這2^n個狀態(tài)都計算一遍,,總共要2^n次操作,。當(dāng)n很大的時候,2^n是一個巨大的數(shù)字,。指數(shù)增長是一種極快的增長,,比n的任何多項式都快。比如說,,2^n比n的10000次方增長得還要快,。

指數(shù)增長的威力。如圖所示,,指數(shù)函數(shù)雖然在最初落后,,但很快勢不可擋地超越了線性函數(shù)和三次方函數(shù),而且越到后面把它們甩得越遠(yuǎn)

對n個量子比特的體系,,卻有一個巧妙的辦法,。使每個量子比特都處于自己的|+> =(|0> + |1>)/√2態(tài),那么整個體系的狀態(tài)就是|++…+> = (|00…0>+ |00…1> + … + |11…1>) /2^(n/2),。(根據(jù)定義就可以知道,,這是個直積態(tài),不是糾纏態(tài),,雖然它確實是一個疊加態(tài),。糾纏態(tài)和疊加態(tài)是兩個概念,。)仔細(xì)看看你會發(fā)現(xiàn),0和1的所有長度為n的組合都出現(xiàn)在其中,,總共有2^n項,,剛好對應(yīng)n個經(jīng)典比特的2^n個狀態(tài)。對這個疊加態(tài)做一次操作,,得到的就是所有2^n個結(jié)果的疊加態(tài),。量子比特的一次操作,就達(dá)到了經(jīng)典比特2n次操作的效果,!


但在歡呼之前,,我們需要認(rèn)清,這個巨大的優(yōu)勢并不容易利用,。因為所有2n個結(jié)果是疊加在一起的,,讀取出來需要做測量,而一做測量就只剩下一個結(jié)果,,其余的結(jié)果都被破壞了,。所以我們只能把這個優(yōu)勢稱為潛在的巨大優(yōu)勢,真要利用它,,需要非常巧妙的算法,。

這樣的算法只對少數(shù)的問題能夠設(shè)計出來,后面會舉一些例子,,如“因數(shù)分解”,。有些科普文章把量子計算機(jī)描寫成無所不能,快成神了,,這是重大的誤解,。量子計算機(jī)的強(qiáng)大,是與問題相關(guān)的,,只針對特定的問題,。


九、量子信息的應(yīng)用

前面說過,,量子信息的研究內(nèi)容包括量子通信和量子計算,。從這兩個名字我們立刻就可以發(fā)現(xiàn),量子信息還沒有進(jìn)入生活,,因為大家都還在用經(jīng)典的電腦和手機(jī)呢,。具體地說,,量子通信已經(jīng)有了一些實際應(yīng)用,,量子衛(wèi)星就是做相關(guān)實驗的。而量子計算的發(fā)展程度要低得多,,還處于演示階段,,尚未造出有實用價值的量子計算機(jī),。

量子信息究竟能用來干什么呢?下面我們來介紹量子信息的四項應(yīng)用,。在量子計算方面,,有量子因數(shù)分解(破解最常用的密碼體系)和量子搜索(用途最廣泛的量子算法)。在量子通信方面,,有量子隱形傳態(tài)(“傳送術(shù)”,,最富有科幻色彩的應(yīng)用)和量子密碼術(shù)。在所有這些應(yīng)用中,,量子密碼術(shù)是目前唯一接近實用的,,但這一個就非常重要,足以表現(xiàn)量子信息的價值了,。


十,、量子因數(shù)分解和密碼破解

所謂因數(shù)分解,就是把一個合數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)的乘積,,例如21 = 3 × 7,。因數(shù)分解是數(shù)學(xué)中的經(jīng)典難題。

你也許會問,,這有什么難的,?你當(dāng)然不管三七二十一就能分解21,但請試試看分解2^67 - 1 =147,573,952,589,676,412,927,。這是個18位數(shù),。1644年(明朝滅亡的那一年),法國數(shù)學(xué)家梅森(Marin Mersenne)提出它是一個質(zhì)數(shù),。在那之后的很長時間里,,人們都這么認(rèn)為。直到1903年(清朝都快亡了),,人們才發(fā)現(xiàn)它是一個合數(shù),,等于193,707,721 ×761,838,257,287。耗了一個朝代,!

讓我們想想,,如何分解一個數(shù)字N。最容易想到的算法,,是從2開始往上,,一個一個地試驗?zāi)芊裾齆,一直到N的平方根為止,。如果N用二進(jìn)制表示是個n位數(shù),,即N約等于2n,那么嘗試的次數(shù)大致就是2n/2,。這是指數(shù)增長的計算量,,前面說過,,指數(shù)增長是一個災(zāi)難。

在計算機(jī)科學(xué)中,,把計算量指數(shù)增長的問題稱為“不可計算的”,,把計算量多項式增長的問題稱為“可計算的”。不可計算的意思并不是計算機(jī)不能算,,而是計算量增長得太快,,很容易就達(dá)到“把全世界的計算機(jī)集中起來算幾十億年都無法得出結(jié)果”的程度。

當(dāng)然,,計算量是跟算法有關(guān)的,,你可以尋找效率更高的算法,也應(yīng)該這么做,。對于因數(shù)分解,,“從2開始一個一個試”并不是最聰明的算法。在經(jīng)典計算機(jī)的框架中,,目前最好的算法叫做“數(shù)域篩”,,計算量有所減少,但仍然是指數(shù)增長,。

“艾數(shù)學(xué)”同學(xué),,你想問數(shù)域篩的計算量具體是多少?一般人我不告訴他,,答案是exp[O(n^(1/3) log^(2/3)n)](在數(shù)學(xué)中,,大寫字母O后面跟一個式子,表示結(jié)果跟這個式子具有同樣的數(shù)量級),。

這樣的計算量是什么概念,?如果計算機(jī)一秒做1012次運(yùn)算,那么分解一個300位的數(shù)字需要15萬年,,分解一個5000位的數(shù)字需要……50億年,!地球的年齡也不過是46億年而已!

由此可以看出因數(shù)分解的一個特點(diǎn):它的逆操作,,即算出兩個質(zhì)數(shù)的乘積,,是非常容易的;而它本身,,卻是非常困難的,。這種“易守難攻”的特性,使它在密碼學(xué)中得到了重要的應(yīng)用,。

密碼學(xué)的基本框架,,我們會在后面介紹量子密碼術(shù)時闡述。在這里,我們只需要指出一點(diǎn):因數(shù)分解的困難性,,是現(xiàn)在世界上最常用的密碼系統(tǒng)“RSA”的基礎(chǔ)。RSA這個名字,,是三位發(fā)明者李維斯特(Ron Rivest),、薩莫爾(Adi Shamir)和阿德曼(Leonard Adleman)的首字母縮寫。

RSA密碼體系的三位發(fā)明者

RSA是一種“公開密鑰密碼體系”,,它的密鑰(即加密時用到的參數(shù))是對全世界所有人公開的,。為什么敢公開?因為這個密鑰是一個很大的合數(shù),,解密需要把它分解成兩個質(zhì)數(shù),,而發(fā)布者有信心別人在正常的時間內(nèi)解不開。


但是RSA有兩大隱患,。第一點(diǎn),,我們只是知道目前公開的最好的算法是數(shù)域篩,但不知道是否有更好的算法,。更令人寢食不安的是,,某些國家、某些組織也許已經(jīng)掌握解密的算法了,,只是沒有告訴你,!

第二點(diǎn),上面說的算法都是在經(jīng)典計算機(jī)上運(yùn)行的,,“最快的算法都無法破解RSA”指的是經(jīng)典計算機(jī),。對于量子計算機(jī),我們卻已經(jīng)知道了它可以破解RSA,。

如前所述,,量子計算相對于經(jīng)典計算有潛在的巨大優(yōu)勢,只是實現(xiàn)這種優(yōu)勢需要聰明的算法設(shè)計,,只有對少數(shù)問題能夠設(shè)計出這樣的算法,。而因數(shù)分解,就是這樣的問題之一,。1994年,,肖爾(Peter Shor)發(fā)明了一種量子算法,把因數(shù)分解的計算量減少到了多項式級別,,也就是從不可計算變成了可計算,。

艾數(shù)學(xué)同學(xué),你又在舉手了,?嗯,,肖爾算法的計算量是O(n^2 logn loglogn),一般人我不告訴他,。

這又是個什么概念呢,?同樣還是分解300位和5000位的數(shù)字,,量子算法會把所需時間從15萬年減到不足1秒鐘,從50億年減到2分鐘,!對RSA密碼系統(tǒng)來說,,這不是“隱”患,而是“明”患,!

看起來,,全世界的密碼人員都應(yīng)該陷入恐慌了。但事實上還沒有,,人們?nèi)匀辉谟弥鳵SA,。為什么呢?因數(shù)分解的量子算法只是理論,,真要實現(xiàn)它還是非常困難的,,造出有實用價值的量子計算機(jī)還需要很多努力。

第一次真正用量子算法分解質(zhì)因數(shù)是在2007年實現(xiàn)的,,把15分解成3 × 5,。有兩個研究組同時做出了這個實驗,一個是中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)的潘建偉和陸朝陽等人,,一個是澳大利亞布里斯班大學(xué)的A. G. White和B. P. Lanyon等人,。此后各國科學(xué)家不斷努力,把這個領(lǐng)域推向前進(jìn),。目前在實驗上分解的最大的數(shù)是291,311 = 523 × 557,,是由中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)的杜江峰和彭新華等人在2017年實現(xiàn)的。

什么,,你前邊跟我說量子算法隨隨便便就能分解幾千位的數(shù)字,,結(jié)果實際上最大只能分解一個六位數(shù)?你是在耍我嗎,?

這位同學(xué),,請你先把手里的刀放下……同學(xué)們,一定要分清潛力和現(xiàn)狀,?;疖噭偝霈F(xiàn)的時候,跑得沒有馬車快,,還經(jīng)常出故障,。但是任何有洞察力的人都能看出,火車代表著未來,,因為它能夠達(dá)到的上限遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過馬車,。RSA現(xiàn)在當(dāng)然還可以用,但達(dá)摩克利斯之劍已經(jīng)懸掛起來了,任何有責(zé)任心的密碼人員都會時刻關(guān)心量子計算的進(jìn)展,。

還有一點(diǎn)值得注意的是,,造出專門處理某些任務(wù)的“專用”的量子計算機(jī)比造出“通用”的量子計算機(jī)要容易得多。專用的東西比通用的容易造,,這是一個普遍規(guī)律,。在可編程的電子計算機(jī)出現(xiàn)之前300多年,岡特(Edmund Gunter, 1581-1626)和奧特雷德(William Oughtred, 1574-1660)就造出了計算尺,。

谷歌宣布計劃在2017年造出超越傳統(tǒng)計算機(jī)的量子計算機(jī),很可能指的就是這種專用計算機(jī),。斯諾登從美國出逃后,,披露了美國國家安全局有一個絕密的項目“穿透硬目標(biāo)”(Penetrating Hard Targets),計劃建造一臺專用于破解密碼的量子計算機(jī),。據(jù)傳該局已經(jīng)存放了大量外國政府的密電,,一旦項目成功立刻對它們動手。這足以讓其他國家不寒而栗了,!

同樣的道理,,2017年5月,中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)潘建偉和陸朝陽等人宣布造出世界上第一臺超越早期電子計算機(jī)的光量子計算機(jī),,也是特別針對一個問題的,,這個問題叫做“玻色子取樣”。對它的量子算法,,也是把指數(shù)增長的計算量縮減到了多項式增長的計算量,。成果就是,這臺量子計算機(jī)算起玻色子取樣來,,比第一臺電子管計算機(jī)ENIAC和第一臺晶體管TRADIC快了10到100倍,。

順便提一下,有些人迷惑光量子計算機(jī)跟量子計算機(jī)是什么關(guān)系,,甚至還有人說光量子計算機(jī)不是量子計算機(jī),。實際上,量子計算機(jī)總需要用某種物理體系來實現(xiàn),,好比電子計算機(jī)可以用電子管實現(xiàn),,也可以用晶體管實現(xiàn),甚至可以像《三體》中設(shè)想的那樣用幾千萬人來實現(xiàn)(秦始皇:有人叫我,?),。光量子計算機(jī)就是用光子作為量子比特的量子計算機(jī)。除了光子之外,,量子計算機(jī)常用的物理體系還包括光學(xué)共振腔,、離子阱、核磁共振等等。沒關(guān)系,,你不需要現(xiàn)在就看懂這些物理學(xué)術(shù)語……

世界首臺超越早期經(jīng)典計算機(jī)的單光子量子計算機(jī)


以后如果你看到量子計算機(jī)的新聞,,千萬不要問“計算能力跟我的電腦比起來怎么樣”或者“打游戲會卡嗎”,人家一聽就知道你很外行,。如果你問“它針對的是哪個數(shù)學(xué)問題,,把計算量從什么改進(jìn)到了什么”,人家就知道你是懂行的了,?!话闳宋也桓嬖V他!


(未完待續(xù))


背景簡介:本文作者為袁嵐峰,,中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)化學(xué)博士,,中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)合肥微尺度物質(zhì)科學(xué)國家實驗室副研究員,科技與戰(zhàn)略風(fēng)云學(xué)會會長,。


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