導讀：

量子力學不是玄學，而是一套清晰的數學框架,，可以比作微觀世界運行的一本操作手冊,。根據這本操作手冊，我們能對微觀世界做出精確的預測,，跟實驗符合到小數點后第9位甚至更多,。從信息科學的角度看來，量子力學中能夠利用的是“三大奧義”：疊加,、測量和糾纏,。

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前兩篇見：

你完全可以理解量子信息（1） | 袁嵐峰

你完全可以理解量子信息（2-3） | 袁嵐峰

四、微觀世界運行的操作手冊

你可能聽說過不少渲染量子力學如何難以理解的說法,，如“連愛因斯坦都理解不了量子力學”，“費曼說,，沒有人理解量子力學”,。但對初學者來說，這些說法有點誤導,，會讓你以為量子力學是一種玄學,、禪機，一種類似腦筋急轉彎或者詭辯的東西,。

實際上,，量子力學是一套清晰的數學框架，可以比作微觀世界運行的一本操作手冊,。全世界有數以百萬計的科技人員熟悉這本操作手冊,，就像全世界有數以百萬計的管道工熟悉管道操作一樣。根據這本操作手冊,，我們能對微觀世界的運行做出精確的預測,，跟實驗符合得極好，常常準確到小數點后第9位甚至更多,。

英國物理學家狄拉克的名著《量子力學原理》

那么難理解的是什么呢,？是這本操作手冊“為什么”是這樣，這是個哲學層面的問題,。而這本操作手冊本身,，是十分清楚的。好比你拿到《九陰真經》,，雖然不明白里面很多地方為什么這么寫,，但你照著練就能成為武林高手,。

從信息科學的角度看來，量子力學中能夠利用的是三個非常違反宏觀世界日常經驗的要點：疊加,、測量和糾纏,。我們不妨稱之為“三大奧義”。這不是說量子力學中只有這三個奧義,，當然還有其他的,，只是跟信息科學的關系不是那么大，本文中就不介紹了,。

這三大奧義雖然違反“常識”,，但微觀世界的許多實驗早已驗證了它們的正確性。在閱讀下文時,，每當你感到“這怎么可能”,、“這不是胡說八道嗎”的時候，請記住,，這些原理不是某個科學家的心血來潮向壁虛構,，而是已經經過近百年來的無數實驗反復證明的，其應用范圍幾乎涉及我們身邊所有事物,。所以,，在目前的認識范圍內，科學界把這些原理視為真理,。

如果你想問“如果這些理論是錯的會怎么樣”,，回答是：你的電視就開不了機，手機就通不了信,，計算機就算不了東西,，燈管就發(fā)不了光。所以,，你希望這些理論是錯的,，還是對的呢？

下面我來具體解釋這“三大奧義”,，其中要用到一些數學符號,，——因為這是最容易理解的方式。如果用日常語言來描述,，會多費很多口舌,，還說得不清不楚。許多文章令人越看越糊涂,，就是這個原因,。而用數學語言來描述，就能準確簡潔地了解這“三大奧義”,。

如果你真心想理解量子信息,，超出吃瓜群眾的水平,，你就一定要跨越這個心理障礙，勇敢地面對數學,。這樣做了以后,，你就會發(fā)現，其實并不難,，你完全可以做到,！

五、第一大奧義：疊加

“比特”是計算機科學的基本概念,，指的是一個體系有且僅有兩個可能的狀態(tài),，一般用“0”和“1”來表示。典型的例子,，如硬幣的正,、反兩個面或者開關的開、關兩個狀態(tài),。

但在量子力學中,，情況出現了本質的不同。量子力學有一條基本原理叫做“疊加原理”：如果兩個狀態(tài)是一個體系允許出現的狀態(tài),，那么它們的任意線性疊加也是這個體系允許出現的狀態(tài),。

現在問題來了，什么叫做“狀態(tài)的線性疊加”,？為了說清楚這一點，最方便的辦法是用一種數學符號表示量子力學中的狀態(tài),，就是在一頭豎直一頭尖的括號“|>”中填一些表示狀態(tài)特征的字符,。這種符號是英國物理學家狄拉克發(fā)明的，稱為“狄拉克符號”,。

在量子信息中,，經常把兩個基本狀態(tài)寫成|0>和|1>。而|0>和|1>的線性疊加,，就是a|0> + b|1>,，其中a和b是兩個數?！熬€性”意味著用一個數乘以一個狀態(tài),，“疊加”意味著兩個狀態(tài)相加，所以“線性疊加”就是把兩個狀態(tài)各自乘以一個數后再加起來,。

疊加原理說的是：如果一個體系能夠處于|0>和處于|1>,，那么它也能處于任何一個a|0> + b|1>，這樣的狀態(tài)稱為“疊加態(tài)”,。這里a和b可以取任何數,，對它們唯一的限制,，就是它們的絕對值的平方和等于1，即|a|2+ |b|2 = 1,。

疊加原理乍看起來完全和常識相反,。假如用|0>代表你在北京喝茶，|1>代表你在巴黎喝茶,，那么(|0> + |1>)/√2就意味著你同時在北京與巴黎喝茶,！這種狀態(tài)怎么可能存在呢？

但量子力學的一切實驗結果都表明,，疊加原理是正確的,，是一條必不可少的基本原理，至少在微觀世界中是如此,。一個電子確實可以“同時位于兩個地方”（這句話實際的意思,，要到下一節(jié)講“測量”時才能完全明白）。至于宏觀世界里為什么沒見過一個人同時位于兩處,，那是另一個深奧的問題,，我們在本文中不做進一步的討論。

量子力學中的“疊加”

在疊加原理的框架下,，經典的比特變成了“量子比特”,。也就是說，這個體系的狀態(tài)不是只能取“0”或取“1”了,，而是可以取任意的a|0>+ b|1>狀態(tài),，例如(|0> + |1>)/√2、(|0> - |1>)/√2,、(|0> + √3|1>)/2,、(√3|0> - |1>)/2等等。從兩個選擇到無窮多個選擇,，這是個巨大的擴展,。顯然，一個量子比特包含比一個經典比特大得多的信息量,。

為了更方便地理解這個概念,，我們可以把一個量子力學的狀態(tài)理解成一個矢量（請回憶高中數學，矢量就是既有大小也有方向的量,，例如牛頓力學中的力,、速度、位移都是矢量）,。實際上,，狄拉克符號|>正是為了讓人聯想到矢量而設計的。以后我們就把表示量子力學狀態(tài)的矢量稱為“態(tài)矢量”。

我們可以認為,，所有的a|0> + b|1>態(tài)矢量都屬于同一個平面,。而在這個平面上，|0>和|1>定義了兩個方向,，相當于xy兩個坐標軸上的單位矢量,。在|a|2 + |b|2 = 1的條件下，a|0>+ b|1>就是從原點到半徑為1的單位圓上一點的矢量,?？辞宄@個幾何圖象，我們立刻就明白,，單位圓上任何一點的地位都是相同的,，沒有一個態(tài)比其他態(tài)更特殊，可謂“眾生平等”,。

回憶一下高中學的解析幾何,。在那里我們首先要畫出坐標系，確定兩個坐標軸的方向,，但具體的選擇完全是隨意的,。任何兩個方向都可以作為x軸和y軸，只要它們互相垂直,。無論你怎么選擇坐標軸,，最終的計算結果都不會變（當然，計算過程的繁簡程度可能不同）,。在這里也是一樣,，你選擇哪兩個矢量作為|0>和|1>都可以，唯一的要求就是它們互相垂直,。

疊加原理和基組

我們可以定義兩個狀態(tài)|+> =(|0> + |1>)/√2和|-> = (|0> - |1>)/√2,，從圖中可以看出，它們相當于把|1>和|0>向左旋轉45度,。如果把|+>和|->當作基本狀態(tài),，用它們的線性疊加來表示單位圓上所有的狀態(tài),，同樣是可行的,，——這就相當于把坐標系向左旋轉了45度。在這個新的坐標系下,，|0> = (|+> + |->)/√2,，|1> = (|+> - |->)/√2。

事實上,，一種常見的實現量子比特的方法,，就是用光子的“偏振態(tài)”。光是一種電磁波，不斷地產生電場和磁場,。如果電場位于某個確定的方向,，我們就說這個光子是偏振的。四個狀態(tài)|0>,、|1>,、|+>和|->，分別對應光子的偏振處于0度,、90度,、45度和135度。在這個體系中,，上面的圖就不僅是個比喻,，而且直接對應實驗了。

取一組矢量,，如果其他所有的矢量都能表示成這組矢量的線性疊加,，那么這組矢量就叫做“基組”。|0>和|1>構成一個基組,，|+>和|->也構成一個基組,，這樣的基組有無窮多個。

根據上面的圖,，我們還可以做一個比喻：經典比特是“開關”,，只有開和關兩個狀態(tài)（0和1），而量子比特是“旋鈕”,，就像收音機上調頻的旋鈕那樣,，有無窮多個狀態(tài)（所有的a|0> + b|1>）。顯然,，旋鈕的信息量比開關大得多,。

（未完待續(xù)）

背景簡介：本文作者為袁嵐峰，中國科學技術大學化學博士,，中國科學技術大學合肥微尺度物質科學國家實驗室副研究員,，科技與戰(zhàn)略風云學會會長。